3. Deret Geometri Tak Hingga
Pada subbab berikut, akan dijelaskan materi tentang deret geometri tak hingga.
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak suku-sukunya tak hingga.
Deret geometri tak hingga terdiri atas dua jenis, yaitu konvergen dan divergen.
Deret geometri tak hingga disebut konvergen jika jumlah suku-suku deret geometri tak hingga
tersebut terbatas atau menuju suatu bilangan tertentu. Sementara itu, deret geometri tak hingga
disebut divergen jika jumlah suku-suku deret geometri tak hingga tersebut tidak terbatas atau
tidak menuju suatu bilangan tertentu.
Jika deret geometri tak hingga dengan $-1 < r < 1$, suku-suku berikutnya akan semakin kecil dan mendekati nol.
Dengan kata lain, untuk $n$ mendekati tak hingga, maka $r^n$ mendekati nol atau dapat ditulis dengan
$\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} r^n = 0$. Namun, meskipun banyak sukunya tak hingga, jumlah dari semua suku deret tersebut
terbatas atau menuju suatu bilangan tertentu (konvergen). Untuk memahami jumlah dari deret geometri tak hingga
yang konvergen, perhatikan ilustrasi berikut.
Misalkan, selembar kertas berbentuk persegi panjang dibagi menjadi dua dan salah satu bagiannya dibagi lagi
menjadi dua bagian. Bagian ini juga dibagi lagi menjadi dua bagian dan begitu seterusnya seperti Gambar berikut.
Pada pembagaian pertama diperoleh setengah bagian, yang kedua seperempat bagian,
yang ketiga seperdelapan bagian, dan seterusnya sampai tak hingga. Secara teoritis,
pembagian tersebut dapat dilakukan berulang kali sampai tak hingga, Tampak jelas bahwa jumlah
dari seluruh hasil pembagian sampai tak hingga sama dengan jumlah kertas semula (1 bagian).
Hasil ini dapat dituliskan sebagai berikut,
Untuk mendapatkan jumlah suku-suku deret geometri tak hingga yang konvergen perhatikan uraian berikut.
$S_n = \frac{a (1-r^n)}{1-r}$
$\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} S_{n} = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \frac{a (1-r^n)}{1-r}$
$ = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \frac{a (1-r^n)}{1-r}$
$ = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \frac{a}{1 - r} - \frac{ar}{1 - r} $
$ = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \frac{a}{1 - r} - ( \frac{a}{1 - r} \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} r^n)$
$ = \frac{a}{1 - r} - (\frac{ar}{1 - r} . 0) $
|
|
|---|
Rumus tersebut dapat dituliskan juga sebagai berikut.
1. $ a = (1 - r) S_∞$, untuk menentukan suku pertama deret geometri tak hingga.
2. $ r = 1 - \frac{a}{S_∞}$, untuk menentukan rasio deret tak hingga.
Jika deret geometri tak hingga dengan 𝑟 ≤ −1 atau 𝑟 ≥ 1 , jumlah deret geometri tak hingganya akan divergen.
Sementara itu, untuk deret geometri tak hingga konvergen $ a + ar + ar^2 + ar^3 + . . .$, berlaku rumus berikut.
1. Jumlah tak hingga untuk suku-suku ganjil adalah :
|
|
|---|
2. Jumlah tak hingga untuk suku-suku genap adalah :
|
|
|---|
Contoh E.1
Tentukan jumlah tak hingga dari deret geometri berikut :
a. $ 54 + 18 + 6 + 2 + . . . $
b. $ \frac{1}{2}, 1 + 4 + 16 . . . $
Penyelesaian:
a. $ a = 54$ dan $r = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$
$S_∞ = \frac{a}{1-r} = \frac{54}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{54}{\frac{2}{3}} = 81 $
b. Oleh karena $r = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 > 1$, maka jumlah deret tak hingganya tidak ada.
Contoh E.2
Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 8 m. Setiap kali menyentuh lantai, bola tersebut memantul dengan tinggi pantulan bola $\frac{3}{4}$
kali dari tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan sampai bola tesebut berhenti.
Penyelesaian:
Berdasarkan ilustrasi tersebut, diperoleh $U_1 = 8, U_2 = 8(\frac{3}{4}) = 6, U_3 = 6(\frac{3}{4}) = \frac{9}{2}$, dan seterusnya.
Panjang lintasan bola terdiri atas dua deret geometri konvergen, yaitu :
A. Lintasan saat bola ke bawah atau jatuh
$ 8 + 6 + \frac{9}{2} + . . .$
$ a = 8$ dan $ r = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
$S_∞ = \frac{a}{1-r} = \frac{8}{1-\frac{3}{4}} = 32$
B. Lintasan saat bola ke atas atau memantul
$ 6 + \frac{9}{2} + . . .$
$ a = 6$ dan $ r = \frac{\frac{9}{2}}{2} = \frac{3}{4}$
$S_∞ = \frac{a}{1-r} = \frac{6}{1-\frac{3}{4}} = 24$
A. Lintasan saat bola ke bawah atau jatuh
$ 8 + 6 + \frac{9}{2} + . . .$
$ a = 8$ dan $ r = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
$S_∞ = \frac{a}{1-r} = \frac{8}{1-\frac{3}{4}} = 32$
B. Lintasan saat bola ke atas atau memantul
$ 6 + \frac{9}{2} + . . .$
$ a = 6$ dan $ r = \frac{\frac{9}{2}}{2} = \frac{3}{4}$
$S_∞ = \frac{a}{1-r} = \frac{6}{1-\frac{3}{4}} = 24$
Latihan E.1
Tentukan nilai dari $lim_→ ∞(90 + 60 + 40 + \frac{80}{3} + . . .)$
Penyelesaian:
Menentukan nilai dari $lim_→ ∞(90 + 60 + 40 + \frac{80}{3} + . . .) $ sama artinya dengan menentukan jumlah tak hingga deret $ 90 + 60 + 40 + \frac{80}{3} + . . .$
Penyelesaian:
Menentukan nilai dari $lim_→ ∞(90 + 60 + 40 + \frac{80}{3} + . . .) $ sama artinya dengan menentukan jumlah tak hingga deret $ 90 + 60 + 40 + \frac{80}{3} + . . .$
$ a = $
Latihan E.2
Tentukan jumlah tak hingga untuk suku-suku ganjil dari deret geometri $ 80 + 64 + 51,2 + 40,96 + . . . .$
Penyelesaian:
Penyelesaian:
$ a = $
| $ r = $ | $ = $ | ||
|---|---|---|---|
$S_∞ = \frac{a}{1-r^2}$
| $=$ | ||
| 1 | ||
| $=$ | ||
| $ = $ | |
|---|---|
| $ = $ | |
|---|---|