Barisan dan Deret | Halaman Materi

Ayo Mengingat

Pola bilangan adalah susunan bilangan yang membentuk pola tertentu
Suku ke-1 dilambangkan dengan $U_1$
Suku ke-2 dilambangkan dengan $U_2$
Suku ke-3 dilambangkan dengan $U_3$
Suku ke-$n$ dilambangkan dengan $U_n$

Ayo Menalar

Ayo bandingkan banyak meja dan kursi pada kedua gambar di bawah ini. Pada Gambar 1.1 terdapat satu meja berbentuk segiempat yang dilengkapi empat kursi. Jika dua meja disatukan, maka dapat dilengkapi dengan 6 kursi (Gambar 1.2)

Trulli — Gambar 1.1 Meja Segi Empat dengan Empat Kursi

1. Berapa orang yang dapat duduk di kursi dengan sejumlah meja yang disatukan?

Tabel 1.1 Banyak Meja dan Kursi

Banyak Meja	1	2	3	4	5	6
Banyak Kursi	4	6	...	...	...	...

Penyelesaian :

Banyak Meja	1	2	3	4	5	6
Banyak Kursi	4	6

Cek Jawaban

2. Jika terdapat 20 orang yang akan makan bersama dalam satu meja, maka berapa meja yang perlu disatukan?

Penyelesaian :
Karena jumlah orang membentuk pola bilangan 4 6 8 10 12 14 16 18 20. Angka 20 merupakan suku ke-9. Sehingga meja yang dibutuhkan ada 9.

A. Barisan

Tabel 2.1 menampilkan pola bilangan: 4, 6, 8, 10, ….
Jika diamati lebih teliti, pola bilangan di atas disusun berdasarkan aturan tertentu. Pola bilangan yang demikian disebut dengan barisan bilangan. Terdiri dari berapa suku barisan bilangan tersebut?

Suku ke-1 dilambangkan dengan $U_1 = 4$
Suku ke-2 dilambangkan dengan $U_2 = 6$
Suku ke-3 dilambangkan dengan $U_3 = 8$
Suku ke-4 dilambangkan dengan $U_4 = 10$
Suku ke-n dilambangkan dengan $U_n$

Sehingga, barisan bilangan dapat dinyatakan dalam bentuk umum, yaitu

$ U_1, U_2, U_3, U_4, . . . U_n $

1. Barisan Aritmetika

Perhatiakn barisan berikut
4, 7, 10, 13, 16, . . .
Berapakah $U_2 - U_1$ ? , $U_3 - U_2 $? , $U_4 - U_3$? , $U_5 - U_4$?
Apakah nilainya selalu sama ?
Sekarang perhatikan barisan berikut
5, 6, 8, 11, 15, . . .
Berapakah $U_2 - U_1$ , $U_3 - U_2$ ?
Apakah nilainya sama ?

Jika ada barisan yang memiliki sifat selisih setiap dua suku yang berurutan selalu tetap atau konstan. Barisan yang demikian disebut barisan aritmetika. Untuk lebih memahami coba amati barisan-barisan bilangan dibawah ini, coba identifikasi barisan mana yang merupakan barisan aritmetika.

a. 3, 7, 11, 15, 19, . . .
b. 2, 5, 9, 14, 20, . . .
c. 5, 10, 15, 20, . . .
d. 1, 3, 6, 10, 15, . . .

Jika suku pertama $(U_1)$ dinyatakan dengan $a$. selisih (beda) antara dua suku beurutan diberi notasi $b$, dan suku barisan ke-$n$ dilambangkan $U_n$. Dari definisi diatas,diperoleh hubungan sebagai berikut :

$U_1 = a$ $U_2 = U_1 + b = a + b$ $U_3 = U_2 + b = (a + b) + b$ $U_4 = U_3 + b = (a + 2b) + b$	$ = a + 0 . b = a + (1 - 1)b$ $ = a + 1 . b = a + (2 - 1)b$ $ = a + 2 . b = a + (3 - 1)b$ $ = a + 3 . b = a + (4 - 1)b$

Bilangan $b$ adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus beda dapat di uraikan sebagai berikut :

$U_2= U_1+b → b= U_2-U_1$ $U_3= U_2+b → b= U_3-U_2$ $U_4= U_3+b → b= U_4-U_3$

Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika

$U_n = a + (n - 1)b$

dengan $b = U_n - U_(n-1)$ dan $b$ adalah konstan yang tidak bergantung pada $n$.

Contoh A.1

Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke-n, dan suku ke-10 dari barisan 5, 10, 15, 20, . . . berikut.

Penyelesaian:
Suku pertama $(U_1) = a = 5$
Beda $(b) = U_2 - U_1 = U_3 - U_2= 10 - 5 = 15 - 10=5$
Rumus suku ke-$n$ $(U_n) = a + (n - 1)b$
$= 5 + (n - 1)5$
$= 5 + 5n - 5$
$= 5n $

Suku ke-10 $(U_{10}) = 5(10) = 50$

Contoh A.2

Suatu perusahaan memproduksi 5.000 unit barang pada tahun pertama. Pada tahun-tahun berikutnya, hasil produksi turun secara bertahap sebesar 80 unit per tahun. Tentukan pada tahun ke berapa perusahaan tersebut hanya memproduksi 3.000 unit barang.

Penyelesaian:
Penuruan produksi bernilai tetap, berarti merupakan persoalan barisan aritmetika dengan beda $(b) = -80$, $a = 5.000$, dan $U_n = 3.000$

Di ket :
T1 = $U_1 = 5000$
T2 = $U_2 = 5000 - 80$
T3 = $U_3 = 5000 - 160$

$U_n = a + (n - 1)b$
$3.000 = 5.000 + (n - 1)( -80)$
$3.000 = 5.000 - 80n + 80 $
$80n = 5.000 + 80 - 3.000$
$80n = 2.080$
$n = 26$

Jadi, perusahaan memproduksi 3.000 unit barang pada tahun ke-26.

Latihan A.1

Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke-n, dan suku ke-10 dari barisan 2, -1, -4, -7, . . . berikut.

Penyelesaian:

Suku pertama $(U_1) = a = $

Beda $(b) = U_2 - U_1 = $ $-$ $ = $

Rumus suku ke-$n$ $(U_n)= a + (n - 1)b $

$=$ $+ (n - 1)$()

$=$ $-$ $n +$

$=$ $n + $

Suku ke-10 $(U_{10}) =$ $(10) +$ = $+$ =

Cek Jawaban

Latihan A.2

Untuk membuat ulir disediakan roda gigi pengganti. Banyak ulir yang dibuat oleh roda gigi masing-masing membentuk barisan, yaitu 20, 25, 30, . . . . ,120. Tentukan banyak roda yang disediakan.

Penyelesaian:

$a = $

$b = U_2 - U_1= $ $-$ $=$ , dan $U_n = $

$U_n = a + (n - 1)b$

$=$ $+ (n - 1)$

$=$ $+$ $n$ $-$

$n$ $ = $

$n = $

Jadi, banyak roda gigi yang disediakan adalah

Cek Jawaban