Barisan dan Deret | Halaman Materi

2. Deret Aritmetika

Deret adalah penjumlahan beberapa suku dari suatu barisan. Berikut adalah beberapa bentuk dari deret.

• $2 + 4 + 6 + 8 + . . .$
• $3 + 7 + 11 + 15 + . . .$
• $\frac {1}{2} + \frac {1}{4} + 0 - \frac {1}{4} . . .$

Bentuk umum deret dapat dinyatakan sebagai $U_{1} + U_{2} + U_{3} + ...+U_{n}$. Deret aritmetika adalah suatu barisan aritmetika yang suku-sukunya dijumlahkan. Deret aritmetika disebut deret hitung atau deret tambah. Jika jumlah $n$ suku barisan aritmetika yang berurutan dinyatakan sebagai $S_{n}$, maka:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + ...+ U_{n-1} + U_n$
$S_n= a + (a + b)+ (2a + b)+ ...+ (a + (n -1)b). . . $ (1)

Jika urutan penulisan suku-suku dibalik, maka diperoleh
$S_n= U_n + (U_{n - b}) + (U_{n - 2b}) + . . . + (a + b) + a . . .$ (2)

Dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (2)

$2S_n = \underbrace {(a + U_n )+ (a + U_n )+ (a + U_n )+ \cdots + (a + U_n)}_{\mbox{Sebanyak $n$ suku}}$
⇔ $2S_n= n (a + U_n)$
⇔ $S_n=\frac {n}{2} (a + U_n)$

Jadi secara umum jumlah $n$ suku pertama dari deret aritmetika dapat dinyatakan dengan rumus berikut.

$ S_n = \frac {n}{2} (a + U_n) $

atau

$ S_n= \frac {n}{2} (2a +(n-1)b) $

dengan
$S_n$ = jumlah n suku pertama deret aritmetika,
$n$ = banyak suku,
$U_n$ = suku ke-n,
$a$ = suku pertama, dan
$b$ = beda

Untuk setiap $n$ berlaku persamaan berikut.

$ U_n = S_n - S_{n-1} $

Contoh C.1

Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret 11 + 16 + 21 + . . . .

Penyelesaian:

$ a = U_1 = 11, b = U_2 - U_1 = 16 - 11 = 5 ,$ dan $ n = 10 $

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)b) $

$S_{10} = \frac{10}{2} (2 (11 + (10 - 1)5) $

$ = 5 (22 + 45) $

$ =5 (67) = 335 $

Jadi, jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah 335.

Contoh C.2

Hasil produksi pakaian seragam sekolah putih abu-abu yang dibuat oleh siswa-siswa SMK Jurusan Tata Busana pada bulan pertama menghasilkan 80 setel. Setiap bulan berikutnya, hasil produksi meningkat sebanyak 10 setel sehingga membentuk deret aritmetika. Banyak hasil produksi selama 6 bulan pertama adalah . . . setel.

Penyelesaian:

$ a = 80$, $b = 10$, dan $ n = 6$ bulan

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)b) $

$S_6 = \frac{6}{2} (2 (80 + (6 - 1)10) $

$ = 3 (160 + 50) $

$ = 3 (210) = 630$

Jadi, jumlah/banyaknya seragam yang diproduksi selama 6 bulan adalah 630 setel.

Latihan C.1

Diketahui deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + . . . . Tentukan jumlah 12 suku pertama

Penyelesaian:

Ket : Pilih rumus yang ingin digunakan (Klik rumus)

$ S_n = \frac {n}{2} (a + U_n) $ $ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$ a = U_1 $ , $b = U_2 - U_1 = $ $-$ $ = $

Rumus mencari suku ke-$n (U_n) = a + (n-1)b$

$=$ $+ (n - 1)$()

$=$ $+$ $n -$

$=$ $n - $

Rumus mencari jumlah suku :

$S_n = \frac{n}{2}(a + (U_n)$

$S_n = $	$n$	( $ + $ ($n - $ ))
$S_n = $	$2$	( $ + $ ($n - $ ))

$ = $	$n$	( $ + $ $n$))
$ = $	$2$	( $ + $ $n$))

$ = $	$n$	$+$	$n^2$
$ = $	$2$	$+$	$2$

$ S_{12} = $		$+$	()$^2$
$ S_{12} = $	$2$	$+$	$2$

$ = $ $ + $ $ = $

Cek Jawaban

$ a = U_1 $ , $b = U_2 - U_1 = $ $-$ $ = $ , dan $ n = $

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$

$S_{12} = $		$(2$ $+$ ($ - 1$) )
$S_{12} = $	$2$	$(2$ $+$ ($ - 1$) )

$ = $ ($ + $ () )

$ = $ ($ + $ )

$ = $ ()

$ = $

Cek Jawaban

Latihan C.2

Seorang siswa menabung di suatu koperasi sekolah dengan rincian : januari Rp50.000,00, februari Rp55.000,00, dan maret Rp60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah . . .

Penyelesaian:

Ket : Pilih rumus yang ingin digunakan (Klik rumus)

$ S_n = \frac {n}{2} (a + U_n) $ $ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$ a = U_1 $ , $b = U_2 - U_1 = $ $-$ $ = $ , dan $ n = $ tahun $ = $ bulan

Rumus mencari suku ke-$n (U_n )= a + (n-1)b$

$=$ $+ (n - 1)$()

$=$ $+$ $n - $

$=$ $n - $

Rumus mencari jumlah suku :

$S_n = \frac{n}{2}(a + (U_n)$

$S_{n} = $	$n$	$($ $+ $ ($n - $ ))
$S_{n} = $	$2$	$($ $+ $ ($n - $ ))

$ = $	$n$	$($ $ + $ $n$))
$ = $	$2$	$($ $ + $ $n$))

$ = $	$n$	$+$	$n^2$
$ = $	$2$	$+$	$2$

$ S_{24} = $	()	$+$	()$^2$
$ S_{24} = $	$2$	$+$	$2$

$ = $ $ + $ $ = $

Cek Jawaban

$ a = U_1 $ , $b = U_2 - U_1 = $ $-$ $ = $ , dan $ n = $ tahun $ = $ bulan

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$

$S_{24} = $		$ = (2$ $+$ ($ -1$) )
$S_{24} = $	$2$	$ = (2$ $+$ ($ -1$) )

$ = $ ($ + $ () )

$ = $ ($ + $ )

$ = $ ()

$ = $

Cek Jawaban